本文分享自天翼云开发者社区《从random随机数看验证码重复数字》.作者：王****淋

## 推导：

1. 有6个不同数字

- (0个重复数字: 1+1+1+1+1+1):

$$p(6) = C_{10}^6 * 6! \div 10^6$$

2. 有5个不同数字

- (某个数字重复了2次: 1+1+1+1+2):

$$p(5) = (\frac{C_{10}^5 * C_5^1}{2!*1!*1!*1!*1!} ) * 6! \div 10^6$$

$$     = (\frac{C_{10}^5 * C_5^1}{2!} ) * 6! \div 10^6$$

3. 有4个不同数字

- (某个数字重复了3次: 1+1+1+3，或某2个数字各重复2次: 1+1+2+2)。(省略$1!$):

$$p(4) = (\frac{C_{10}^4 * C_4^1}{3!} + \frac{C_{10}^4 * C_4^2}{2!*2!}) * 6! \div 10^6$$

4. 有3个不同数字

- (某个数字重复了4次: 1+1+4，或某个数字重复3次+某数字重复2次: 1+3+2, 或3个数字哥重复2次: 2+2+2):

$$p(3) = (\frac{C_{10}^3 * C_3^1}{4!} + \frac{C_{10}^3 * C_3^1 * C_2^1}{3!*2!}  +\frac{C_{10}^3 * C_3^3}{2!*2!*2!}) * 6! \div 10^6$$

5. 有2个不同数字

- (某个数字重复了5次: 1+5，或某个数字重复4次+某数字重复2次: 4+2, 或2个数字哥重复3次: 3+3): (省略$1!$):

$$p(2) = (\frac{C_{10}^2 * C_2^1}{5!} + \frac{C_{10}^2 * C_2^1}{4!*2!} + \frac{C_{10}^2 * C_2^2}{3!*3!}) * 6! \div 10^6$$

6. 有1个不同数字(6个相同的重复数字):

$$p(1) = \frac{C_{10}^1}{6!} * 6! \div 10^6$$

## 蒙特卡洛

```py 

import random

# 6位验证码, 相同数字的概率: 蒙特卡洛

def mtkr(count:int=10, is_show:bool=True, debug:bool = False):    

    ans = [0 for i in range(6)]

    for i in range(count):

        array_i = [random.randint(0, 9) for i in range(6)]              

        n = len(list(set(array_i)))

        if debug:

            print(n, ": ", array_i)

        ans[6-n] += 1

    # end_for

    if is_show:

        print('-' * 30)

        print('蒙特卡洛: count:', count, ";  \n模拟结果: ")

        for i in range(6):

            print("unique", 6-i, ": ", ans[i]/count)

    return [i/count for i in ans]

ans = mtkr(100000, is_show=True, debug=False)

print(ans)

res_plot(ans)

# 结果：

# 模拟结果:

# unique 6 : 0.15148

# unique 5 : 0.45396

# unique 4 : 0.32748

# unique 3 : 0.0643

# unique 2 : 0.00278 u

# nique 1 : 0.0

```

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